【费马定理是什么】“费马定理”这一说法在数学史上并不准确，通常人们指的是“费马大定理”（Fermat's Last Theorem），而非“费马定理”。费马大定理是17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名数论猜想，其内容简单但证明过程极为复杂，历经350多年才被最终解决。
一、费马定理的背景与定义
费马在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》时，在书边写下了一个猜想：对于任何大于2的整数n，方程 $x^n + y^n = z^n$ 没有正整数解。他声称自己找到了一个“真正奇妙的证明”，但书页边缘太小，写不下。这个猜想后来被称为“费马大定理”。
虽然费马本人并未给出完整的证明，但他的猜想引发了无数数学家的关注和研究。
二、费马大定理的核心
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 费马大定理（Fermat's Last Theorem） |
| 提出者 | 皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat） |
| 提出时间 | 1637年 |
| 内容 | 对于所有整数 $n > 2$，方程 $x^n + y^n = z^n$ 没有正整数解 |
| 证明者 | 安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles） |
| 证明时间 | 1994年 |
| 证明方法 | 通过椭圆曲线与模形式理论结合，证明了谷山-志村猜想的一部分 |
三、费马大定理的证明历程
费马大定理的证明跨越了几个世纪，涉及多个数学领域的突破。以下是关键节点：
- 17世纪：费马提出猜想，但未给出证明。
- 18世纪至19世纪：欧拉、高斯等数学家分别证明了n=3、n=4等特殊情况。
- 20世纪：数学家们逐渐发现费马大定理与椭圆曲线和模形式之间存在深刻联系。
- 1994年：安德鲁·怀尔斯在经过七年努力后，成功证明了费马大定理，其证明依赖于现代数学的高级工具。
四、费马定理的误解与澄清
“费马定理”并非正式的数学术语，而是对“费马大定理”的误称。在数学中，真正具有广泛应用的是“费马小定理”（Fermat's Little Theorem），它属于数论中的基础定理，用于判断素数和进行模运算。
| 项目 | 内容 |
| 费马小定理 | 若p为质数，a为任意整数，则 $a^p \equiv a \mod p$ |
| 应用领域 | 密码学、数论、算法设计 |
| 与费马大定理区别 | 费马小定理是一个简单的定理，而费马大定理是一个复杂的猜想 |
五、结论
“费马定理”并不是一个标准的数学术语，正确的名称应为“费马大定理”。该定理虽看似简单，却成为数学史上最具挑战性的难题之一。它的证明不仅推动了数论的发展，也促进了代数几何和模形式理论的进步。同时，“费马小定理”则是另一个重要的数论工具，常用于实际应用中。
总结：
“费马定理”实为“费马大定理”，其核心在于证明方程 $x^n + y^n = z^n$ 在 $n > 2$ 时无正整数解。该定理的证明历时350余年，最终由安德鲁·怀尔斯完成，标志着数学史上的重要里程碑。
