【等差数列和等比数列的公式】在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们在数列求和、通项公式等方面有广泛应用。为了帮助大家更好地理解和记忆这两种数列的相关公式，本文将对它们的基本概念和主要公式进行总结，并以表格形式清晰展示。

一、等差数列

等差数列是指从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数的数列。这个常数称为“公差”，通常用 d 表示。

基本公式：

1. 通项公式：

$ a_n = a_1 + (n - 1)d $

其中，$ a_1 $ 是首项，$ d $ 是公差，$ n $ 是项数。

2. 前n项和公式：

$ S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] $

3. 中间项性质：

若数列有奇数项，则中间项为所有项的平均值。

二、等比数列

等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数的数列。这个常数称为“公比”，通常用 r 表示。

基本公式：

1. 通项公式：

$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $

其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比，$ n $ 是项数。

2. 前n项和公式：

当 $ r \neq 1 $ 时，

$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $

或

$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $

3. 无限等比数列求和（当 $ r < 1 $）：

$ S = \frac{a_1}{1 - r} $

三、等差数列与等比数列对比表

四、应用举例

- 等差数列例子：1, 3, 5, 7, 9... 公差为2

- 等比数列例子：2, 4, 8, 16, 32... 公比为2

五、总结

等差数列和等比数列是数列中的基础内容，掌握它们的通项公式和求和方法对于解决实际问题非常关键。通过比较两者之间的异同，可以更深入地理解数列的结构与规律，提高数学思维能力。

如需进一步了解其他类型的数列或具体例题解析，欢迎继续提问！