【ln sup2 x的原函数是什么】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是一项基本而重要的任务。对于一些常见的函数，如多项式、指数函数或三角函数，我们有标准的积分公式。然而，像 ln²x 这样的函数，虽然形式简单，但其原函数并不直观，需要通过分部积分法进行推导。
本文将总结 ln²x 的原函数，并以表格形式清晰展示相关计算过程和结果，帮助读者更好地理解其推导逻辑。
一、
ln²x 表示自然对数函数 ln x 的平方，即 (ln x)²。要找到它的原函数，我们需要使用分部积分法，这是一种将复杂积分拆解为更易处理部分的方法。
具体步骤如下：
1. 设 u = (ln x)²，dv = dx；
2. 则 du = 2(ln x)(1/x) dx，v = x；
3. 应用分部积分公式 ∫u dv = uv - ∫v du；
4. 代入后得到结果：x(ln x)² - 2∫ln x dx；
5. 再次对 ∫ln x dx 使用分部积分法，最终得到结果。
经过推导，可以得出 ln²x 的原函数为：
$$
x(\ln x)^2 - 2x \ln x + 2x + C
$$
其中，C 是积分常数。
二、表格展示
| 步骤 | 积分表达式 | 分部积分结果 | 说明 |
| 1 | ∫(ln x)² dx | x(ln x)² - 2∫ln x dx | 设 u=(ln x)²，dv=dx |
| 2 | ∫ln x dx | x ln x - x | 再次使用分部积分法 |
| 3 | 整体结果 | x(ln x)² - 2x ln x + 2x + C | 合并所有项 |
三、结论
通过分部积分法，我们可以得出 ln²x 的原函数为：
$$
x(\ln x)^2 - 2x \ln x + 2x + C
$$
这一结果在微积分中具有实际应用价值，尤其是在物理、工程和数学建模等领域中，经常需要处理对数函数的平方形式。掌握其积分方法有助于提升对复杂函数的理解和运算能力。
