【余子式的计算例题】在行列式计算中，余子式是一个重要的概念，尤其在展开行列式时起到关键作用。余子式是针对某个元素而言的，它是由该元素所在的行和列被删除后所形成的子矩阵的行列式，并乘以相应的符号因子 $(-1)^{i+j}$，其中 $i$ 和 $j$ 分别表示该元素所在的行号和列号。

下面通过几个典型例题来详细说明余子式的计算方法。

一、余子式的定义

对于一个 $n \times n$ 的行列式 $D = a_{ij}$，其第 $i$ 行第 $j$ 列的余子式 $M_{ij}$ 定义为：

$$

M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{ij}

$$

其中，$D_{ij}$ 是去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后的 $(n-1) \times (n-1)$ 子矩阵的行列式。

二、例题讲解

例题1：计算三阶行列式中元素 $a_{21}$ 的余子式

给定三阶行列式：

$$

D =

\begin{vmatrix}

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9 \\

\end{vmatrix}

$$

要求：求元素 $a_{21} = 4$ 的余子式 $M_{21}$。

步骤：

1. 去掉第2行第1列，得到子矩阵：

$$

\begin{bmatrix}

2 & 3 \\

8 & 9 \\

\end{bmatrix}

$$

2. 计算该子矩阵的行列式：

$$

D_{21} = (2 \times 9) - (3 \times 8) = 18 - 24 = -6

$$

3. 计算符号因子：

$$

(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1

$$

4. 所以余子式为：

$$

M_{21} = (-1) \times (-6) = 6

$$

例题2：计算四阶行列式中元素 $a_{32}$ 的余子式

给定四阶行列式：

$$

D =

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 2 & 3 \\

-1 & 2 & 1 & 0 \\

3 & 4 & -1 & 2 \\

0 & 1 & 5 & -2 \\

\end{vmatrix}

$$

要求：求元素 $a_{32} = 4$ 的余子式 $M_{32}$。

步骤：

1. 去掉第3行第2列，得到子矩阵：

$$

\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\

-1 & 1 & 0 \\

0 & 5 & -2 \\

\end{bmatrix}

$$

2. 计算该子矩阵的行列式（使用对角线法则或展开法）：

$$

D_{32} = 1 \cdot (1 \cdot (-2) - 0 \cdot 5) - 2 \cdot (-1 \cdot (-2) - 0 \cdot 0) + 3 \cdot (-1 \cdot 5 - 1 \cdot 0)

$$

$$

= 1 \cdot (-2) - 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-5) = -2 - 4 - 15 = -21

$$

3. 计算符号因子：

$$

(-1)^{3+2} = (-1)^5 = -1

$$

4. 所以余子式为：

$$

M_{32} = (-1) \times (-21) = 21

$$

三、总结表格

四、小结

余子式的计算是行列式展开的基础，掌握其计算方法有助于更深入理解行列式的性质和应用。通过以上两个例题可以看出，余子式的计算需要仔细地提取子矩阵并准确计算其行列式，同时注意符号因子的正确使用。