【acm竞赛的一个试题】在ACM（国际大学生程序设计竞赛）中，常见的题目类型包括算法设计、数据结构、动态规划、图论等。本文将分析一个典型的ACM竞赛题目，并通过加表格的形式展示其解题思路与关键点。
一、题目概述
题目名称： 最小路径和
题目描述： 给定一个由非负整数组成的 m x n 网格，从左上角出发，每次只能向右或向下移动，到达右下角时，求出所有可能路径中数字和最小的路径。
输入格式：
- 第一行包含两个整数 m 和 n，表示网格的行数和列数。
- 接下来 m 行，每行包含 n 个整数，表示网格中的数值。
输出格式：
- 输出一个整数，表示最小路径和。
二、解题思路
本题属于典型的动态规划问题。由于每一步只能向右或向下移动，因此可以使用动态规划的方法来解决。
1. 状态定义： 设 `dp[i][j]` 表示从起点 (0,0) 到位置 (i,j) 的最小路径和。
2. 状态转移方程：
- 如果是第一行，则只能从左边来，即 `dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]`
- 如果是第一列，则只能从上面来，即 `dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]`
- 否则，`dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]`
3. 初始条件： `dp[0][0] = grid[0][0]`
最终结果为 `dp[m-1][n-1]`。
三、样例输入与输出
| 输入 | 输出 |
| 3 3 1 3 1 1 5 1 4 2 1 | 7 |
说明： 路径为 1 → 3 → 1 → 1 → 1 → 2 → 1，总和为 7。
四、代码实现（Python）
```python
def minPathSum(grid):
m = len(grid)
n = len(grid[0])
dp = [[0]n for _ in range(m)
dp[0][0] = grid[0][0
for i in range(1, m):
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0
for j in range(1, n):
dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j
for i in range(1, m):
for j in range(1, n):
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j
return dp[m-1][n-1
```
五、关键点总结
| 关键点 | 说明 |
| 题目类型 | 动态规划 |
| 解题方法 | 从起点到终点，逐步计算最小路径和 |
| 状态转移 | 每个位置的最小值来自上方或左方 |
| 时间复杂度 | O(mn) |
| 空间复杂度 | O(mn)，可优化为 O(n) 或 O(1) |
六、总结
该题目考察了对动态规划的理解与应用能力，同时也要求对二维数组的处理较为熟练。在ACM竞赛中，此类题目常见于中等难度部分，掌握好动态规划的思路与实现方式，有助于提高编程竞赛的成绩。
