【期望和方差公式】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量特征的两个重要指标。它们分别反映了随机变量的平均值和波动程度。掌握这些公式不仅有助于理解数据的分布特性，还能为实际问题提供理论支持。
以下是对期望和方差公式的总结，以文字加表格的形式呈现，便于查阅和记忆。
一、期望（Expectation）
期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为相应的概率。它表示了随机变量的“中心位置”。
1. 离散型随机变量的期望
设随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望
设连续型随机变量 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) $，则期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
二、方差（Variance）
方差衡量的是随机变量与其期望之间的偏离程度，即数据的离散程度。方差越大，说明数据越分散；方差越小，说明数据越集中。
1. 方差的定义
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2
$$
也可以简化为：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
2. 离散型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 p_i
$$
3. 连续型随机变量的方差
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx
$$
三、常见分布的期望和方差
| 分布名称 | 概率质量/密度函数 | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ Po(\lambda) $ | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
四、期望和方差的性质
1. 线性性：对任意常数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
E(aX + b) = aE(X) + b
$$
2. 方差的线性性：
$$
\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)
$$
3. 独立变量的方差：若 $ X $ 和 $ Y $ 独立，则
$$
\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)
$$
通过以上内容，我们可以更系统地理解和应用期望和方差公式，为后续的概率分析和统计推断打下坚实基础。
