【三角函数基本公式】在数学中，三角函数是研究三角形和周期性现象的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。掌握三角函数的基本公式是学习三角学的基础。以下是对三角函数基本公式的总结，便于理解和记忆。
一、基本定义
设直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦 | sinθ = a / c |
| 余弦 | cosθ = b / c |
| 正切 | tanθ = a / b |
| 余切 | cotθ = b / a |
| 正割 | secθ = c / b |
| 余割 | cscθ = c / a |
二、基本恒等式
三角函数之间存在一些重要的恒等关系，可用于简化计算或求解问题：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1 / cscθ, cosθ = 1 / secθ, tanθ = 1 / cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ, cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1 |
| 1 + tan²θ = sec²θ | |
| 1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度变换）
对于任意角θ，可以通过一些公式将其转换为0°~360°之间的角度，方便计算：
| 角度变化 | 对应公式 |
| θ + 2π | sin(θ + 2π) = sinθ, cos(θ + 2π) = cosθ |
| -θ | sin(-θ) = -sinθ, cos(-θ) = cosθ |
| π - θ | sin(π - θ) = sinθ, cos(π - θ) = -cosθ |
| π + θ | sin(π + θ) = -sinθ, cos(π + θ) = -cosθ |
| 2π - θ | sin(2π - θ) = -sinθ, cos(2π - θ) = cosθ |
四、和差角公式
用于计算两个角的和或差的三角函数值：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差公式 | cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB |
| 正切和差公式 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB) |
五、倍角公式
用于计算一个角的两倍或三倍的三角函数值：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ) |
六、半角公式
用于计算一个角的一半的三角函数值：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] |
七、积化和差与和差化积
用于将乘积形式转化为和差形式，或反之：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 积化和差 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 | |
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 | |
| 和差化积 | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] | |
| cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | |
| cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
通过掌握这些基本公式，可以更灵活地处理各种三角函数问题，提高解题效率。建议在实际应用中结合图形理解，有助于加深记忆和运用。
