【二项分布公式是什么】二项分布是概率论中一个非常重要的离散概率分布，广泛应用于试验次数固定、每次试验只有两种可能结果（成功或失败）的场景。它描述了在n次独立重复试验中，事件恰好发生k次的概率。
一、二项分布的基本概念
- 试验次数（n）：进行的独立试验次数。
- 成功概率（p）：每次试验成功的概率。
- 失败概率（q）：每次试验失败的概率，q = 1 - p。
- 随机变量X：表示在n次试验中成功的次数。
二、二项分布的公式
二项分布的概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
其中：
- $ C(n, k) $ 是组合数，表示从n个不同元素中取出k个的组合方式数，计算公式为：
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$
- $ p $ 是单次试验的成功概率。
- $ k $ 是成功的次数，取值范围为 $ 0 \leq k \leq n $。
三、二项分布的性质
| 属性 | 描述 |
| 期望值（均值） | $ E(X) = np $ |
| 方差 | $ Var(X) = np(1-p) $ |
| 标准差 | $ \sqrt{np(1-p)} $ |
| 可加性 | 若X ~ B(n, p)，Y ~ B(m, p)，且X与Y独立，则X + Y ~ B(n+m, p) |
四、二项分布的应用场景
- 投掷硬币多次，正面出现的次数；
- 产品合格率的统计；
- 顾客是否购买某商品的预测；
- 检测某个事件发生的概率。
五、二项分布公式总结表
| 项目 | 内容 |
| 公式 | $ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $ |
| 组合数 | $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ |
| 成功概率 | $ p $ |
| 失败概率 | $ q = 1 - p $ |
| 随机变量 | X 表示成功次数，$ 0 \leq X \leq n $ |
| 期望值 | $ np $ |
| 方差 | $ np(1-p) $ |
通过了解和掌握二项分布公式，我们可以更好地分析和预测在一系列独立重复试验中某一事件发生的可能性，从而为决策提供数据支持。
