【为什么sin135度等于sin45度】在三角函数的学习中，许多同学可能会疑惑：为什么sin135°的值和sin45°相同？其实，这与三角函数的周期性和对称性密切相关。下面我们将从数学原理出发，结合图表说明这一现象。
一、基本概念
- 正弦函数（sin）：在单位圆中，sinθ 表示角θ终边与单位圆交点的纵坐标。
- 角度范围：0°到360°为一个完整的周期，sinθ具有对称性和周期性。
二、角度关系分析
135°位于第二象限，而45°位于第一象限。它们之间的关系可以通过余角公式来理解：
$$
\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta
$$
因此：
$$
\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ)
$$
这表明，135°的正弦值与45°的正弦值相等。
三、数值验证
| 角度 | 正弦值（sin） |
| 45° | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
| 135° | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
通过计算可以发现，两者的正弦值完全相同。
四、图形解释
在单位圆中，45°和135°的终边分别位于第一象限和第二象限。虽然它们的位置不同，但它们的纵坐标（即sin值）是相同的，因为它们关于y轴对称。
五、总结
sin135°等于sin45°的原因在于：
- 135°是180°减去45°；
- 根据正弦的对称性公式，$\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$；
- 在单位圆中，两个角的终边关于y轴对称，导致它们的正弦值相同。
这种对称性不仅适用于45°和135°，也适用于其他角度，如30°与150°、60°与120°等。
关键词：正弦函数、单位圆、对称性、角度关系、三角函数性质
